Question

【題目】已知，拋物線y=ax2+ax+b（a≠0）與直線y=2x+m有一個公共點M（1，0），且a＜b．

（1）求b與a的關(guān)系式和拋物線的頂點D坐標（用a的代數(shù)式表示）；

（2）直線與拋物線的另外一個交點記為N，求△DMN的面積與a的關(guān)系式；

（3）a=﹣1時，直線y=﹣2x與拋物線在第二象限交于點G，點G、H關(guān)于原點對稱，現(xiàn)將線段GH沿y軸向上平移t個單位（t＞0），若線段GH與拋物線有兩個不同的公共點，試求t的取值范圍．

【答案】（1）b=﹣2a，頂點D的坐標為（﹣，﹣）；（2）；（3） 2≤t＜．

【解析】試題分析：（1）把M點坐標代入拋物線解析式可得到b與a的關(guān)系，可用a表示出拋物線解析式，化為頂點式可求得其頂點D的坐標；
（2）把點代入直線解析式可先求得m的值，聯(lián)立直線與拋物線解析式，消去y，可得到關(guān)于x的一元二次方程，可求得另一交點N的坐標，根據(jù)a<b，判斷a<0，確定D、M、N的位置，畫圖1，根據(jù)面積和可得的面積即可；
（3）先根據(jù)a的值確定拋物線的解析式，畫出圖2，先聯(lián)立方程組可求得當GH與拋物線只有一個公共點時，t的值，再確定當線段一個端點在拋物線上時，t的值，可得：線段GH與拋物線有兩個不同的公共點時t的取值范圍．

試題解析：(1)∵拋物線有一個公共點M(1,0)，

∴a+a+b=0，即b=2a，

∴拋物線頂點D的坐標為

(2)∵直線y=2x+m經(jīng)過點M(1,0)，

∴0=2×1+m，解得m=2，

∴y=2x2，

則

得

∴(x1)(ax+2a2)=0,

解得x=1或

∴N點坐標為

∵a<b，即a<2a，

∴a<0，

如圖1，設(shè)拋物線對稱軸交直線于點E，

∵拋物線對稱軸為

設(shè)△DMN的面積為S，

(3)當a=1時，

拋物線的解析式為：

有

解得：

∴G(1,2)，

∵點G、H關(guān)于原點對稱，

∴H(1,2)，

設(shè)直線GH平移后的解析式為：y=2x+t，

x2x+2=2x+t，

x2x2+t=0，

△=14(t2)=0，

當點H平移后落在拋物線上時,坐標為(1,0)，

把(1,0)代入y=2x+t，

t=2，

∴當線段GH與拋物線有兩個不同的公共點,t的取值范圍是

【題型】解答題
【結(jié)束】
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【題目】在△ABC中，AB=AC，點D是直線BC上的一點（不與B，C重合），以AD為一邊在AD的右側(cè)作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，連接CE，設(shè)∠BAC=α，∠BCE=β．

（1）如圖①，當點D在線段BC上，如果α=60°，β=120°；

如圖②，當點D在線段BC上，如果α=90°，β=90°

如圖③，當點D在線段BC上，如果α，β之間有什么樣的關(guān)系？請直接寫出．

（2）如圖④，當點D在射線BC上，（1）中結(jié)論是否成立？請說明理由．

（3）如圖⑤，當點D在射線CB上，且在線段BC外，（1）中結(jié)論是否成立？若不成立，請直接寫出你認為正確的結(jié)論．

Answer 1

【答案】（1）α+β=180°；（2）（1）中結(jié)論是成立；（3）（1）中結(jié)論是不成立，成立的是：∠BAC+∠CBE=180°．

【解析】試題分析：（1）先判斷出△ABD≌△ACE得出∠ABD=∠ACE，再用三角形的內(nèi)角和即可得出結(jié)論；

（2）同（1）的方法即可得出結(jié)論；

（3）先判斷出△ABE≌△ACD，再用三角形的內(nèi)角和即可得出結(jié)論．

試題解析：解：（1）α+β=180°．理由如下：

如圖③．∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAD=∠CAE．在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD=∠ACE．在△ABC中，∠BAC+∠B+∠ACB=180°，∴∠BAC+∠ACE+∠ACB=∠BAC+∠BCE=180°，即：α+β=180°；

（2）（1）中結(jié)論是成立，理由如下：

如圖④，連接CE．∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAD=∠CAE．在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD=∠ACE．在△ABC中，∠BAC+∠B+∠ACB=180°，∴∠BAC+∠ACE+∠ACB=∠BAC+∠BCE=180°，即：α+β=180°；

（3）（1）中結(jié)論是不成立，成立的是：∠BAC+∠CBE=180°．理由如下：

如圖⑤，連接BE．∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAE=∠CAD．在△ABE和△ACE中，，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴∠ABE=∠ACD．在△ABC中，∠BAC+∠ABC+∠ACD=180°，∴∠BAC+∠ABC+∠ABE=∠BAC+∠CBE=180°，即：∠BAC+∠CBE=180°．