Question

【題目】如圖，AB是⊙O直徑，點C在⊙O上，AD平分∠CAB，BD是⊙O的切線，AD與BC相交于點E，與⊙O相交于點F，連接BF．

（1）求證：BD＝BE；

（2）若DE＝2，BD＝2，求AE的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）AE＝18．

【解析】

（1）利用圓周角定理得到∠ACB=90°，再根據(jù)切線的性質(zhì)得∠ABD=90°，則∠BAD+∠D=90°，然后利用等量代換證明∠BED=∠D，從而判斷BD=BE；

（2）利用圓周角定理得到∠AFB=90°，則根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)DF=EF=DE=1，再證明△DFB∽△DBA，利用相似比求出AD的長，然后計算AD-DE即可．

（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB＝90°，

∴∠CAE+∠CEA＝90°，

而∠BED＝∠CEA，

∴∠CAE+∠BED＝90°，

∵BD是⊙O的切線，

∴BD⊥AB，

∴∠ABD＝90°，

∴∠BAD+∠D＝90°，

又∵AF平分∠CAB，

∴∠CAE＝∠BAD，

∴∠BED＝∠D，

∴BD＝BE；

（2）解：∵AB為直徑，

∴∠AFB＝90°，且BE＝BD，

∴DF＝EF＝DE＝1，

∵∠FDB＝∠BDA，

∴△DFB∽△DBA，

∴=，

∴DA＝2×2＝20，

∴AE＝AD﹣DE＝20﹣2＝18．