Question

【題目】如圖1，拋物線l1：y=﹣x2+bx+3交x軸于點A、B，（點A在點B的左側），交y軸于點C，其對稱軸為x=1，拋物線l2經過點A，與x軸的另一個交點為E（5，0），交y軸于點D（0，﹣5）．

（1）求拋物線l2的函數(shù)表達式；

（2）P為直線x=1上一動點，連接PA、PC，當PA=PC時，求點P的坐標；

（3）M為拋物線l2上一動點，過點M作直線MN∥y軸（如圖2所示），交拋物線l1于點N，求點M自點A運動至點E的過程中，線段MN長度的最大值．

Answer 1

【答案】（1）拋物線l2的函數(shù)表達式；y=x2﹣4x﹣5；（2）P點坐標為（1，1）；（3）在點M自點A運動至點E的過程中，線段MN長度的最大值為12.5．

【解析】

（1）由拋物線l1的對稱軸求出b的值，即可得出拋物線l1的解析式，從而得出點A、點B的坐標，由點B、點E、點D的坐標求出拋物線l2的解析式即可；（2）作CH⊥PG交直線PG于點H，設點P的坐標為（1，y），求出點C的坐標，進而得出CH=1，PH=|3﹣y |，PG=|y |，AG=2，由PA=PC可得PA2=PC2，由勾股定理分別將PA2、PC2用CH、PH、PG、AG表示，列方程求出y的值即可；（3）設出點M的坐標，求出兩個拋物線交點的橫坐標分別為﹣1，4，①當﹣1＜x≤4時，點M位于點N的下方，表示出MN的長度為關于x的二次函數(shù)，在x的范圍內求二次函數(shù)的最值；②當4＜x≤5時，點M位于點N的上方，同理求出此時MN的最大值，取二者較大值，即可得出MN的最大值.

（1）∵拋物線l1：y=﹣x2+bx+3對稱軸為x=1，

∴x=﹣=1，b=2，

∴拋物線l1的函數(shù)表達式為：y=﹣x2+2x+3，

當y=0時，﹣x2+2x+3=0，

解得：x1=3，x2=﹣1，

∴A（﹣1，0），B（3，0），

設拋物線l2的函數(shù)表達式；y=a（x﹣5）（x+1），

把D（0，﹣5）代入得：﹣5a=﹣5，a=1，

∴拋物線l2的函數(shù)表達式；y=x2﹣4x﹣5；

（2）作CH⊥PG交直線PG于點H，

設P點坐標為（1，y），由（1）可得C點坐標為（0，3），

∴CH=1，PH=|3﹣y |，PG=|y |，AG=2，

∴PC2=12+（3﹣y）2=y2﹣6y+10，PA2= =y2+4，

∵PC=PA，

∴PA2=PC2，

∴y2﹣6y+10=y2+4，解得y=1，

∴P點坐標為（1，1）；

（3）由題意可設M（x，x2﹣4x﹣5），

∵MN∥y軸，

∴N（x，﹣x2+2x+3），

令﹣x2+2x+3=x2﹣4x﹣5，可解得x=﹣1或x=4，

①當﹣1＜x≤4時，MN=（﹣x2+2x+3）﹣（x2﹣4x﹣5）=﹣2x2+6x+8=﹣2（x﹣）2+，

顯然﹣1＜≤4，

∴當x=時，MN有最大值12.5；

②當4＜x≤5時，MN=（x2﹣4x﹣5）﹣（﹣x2+2x+3）=2x2﹣6x﹣8=2（x﹣）2﹣，

顯然當x＞時，MN隨x的增大而增大，

∴當x=5時，MN有最大值，MN=2（5﹣）2﹣=12.

綜上可知：在點M自點A運動至點E的過程中，線段MN長度的最大值為12.5．