Question

【題目】已知在長方形ABCD中，AB=4，BC= ，O為BC上一點(diǎn)，BO= ，如圖所示，以BC所在直線為x軸，O為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，M為線段OC上的一點(diǎn)．

（1）若點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，0），如圖①，以O(shè)M為一邊作等腰△OMP，使點(diǎn)P在y軸上，則符合條件的等腰三角形有幾個(gè)？請(qǐng)直接寫出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）若點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，0），如圖①，以O(shè)M為一邊作等腰△OMP，使點(diǎn)P落在長方形ABCD的一邊上，則符合條件的等腰三角形有幾個(gè)？請(qǐng)直接寫出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（3）若將（2）中的點(diǎn)M的坐標(biāo)改為（4，0），其它條件不變，如圖②，那么符合條件的等腰三角形有幾個(gè)？求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵以O(shè)M為一邊作等腰△OMP，點(diǎn)P在y軸上，

∴OP=OM，又點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，0），

∴OP=OM=1，

∴符合條件的等腰三角形有2個(gè)，

則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，﹣1）、（0，1）；

（2）解：由題意得，OM為等腰△OMP的底邊，

則點(diǎn)P在線段OM的垂直平分線上，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（1，4），

則符合條件的等腰三角形有1個(gè)；

（3）解：如圖，

∵OP=OM，

∴OP=4，

∴BP= = ，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣ ， ），

由題意得，P′的坐標(biāo)為（0，4），P′′的坐標(biāo)為（1，4），P′′′的坐標(biāo)為（4，4），

符合條件的等腰三角形有4個(gè)．

【解析】（1）抓住已知條件，是以O(shè)M為一邊作等腰△OMP，且使點(diǎn)P在y軸上，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)解答。
（2）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)解答即可。
（3）分OM=OP、OP=PM、OM=MP三種情況，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)解答．
【考點(diǎn)精析】掌握線段垂直平分線的性質(zhì)和勾股定理的概念是解答本題的根本，需要知道垂直于一條線段并且平分這條線段的直線是這條線段的垂直平分線；線段垂直平分線的性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)和這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等；直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2．