Question

【題目】如圖所示，一個(gè)半徑為、質(zhì)量為的不動(dòng)地球，在地球表面上方，高為處?kù)o止釋放一個(gè)小物體（），此物體自由下落，當(dāng)達(dá)到地球表面時(shí)，正好落入過(guò)地球中心的光滑細(xì)隧道中，物體從隧道的另一出口出來(lái)，繼續(xù)向前運(yùn)動(dòng)到達(dá)最高點(diǎn)，然后返回，以后就按這樣的方式來(lái)回運(yùn)動(dòng)，求物體運(yùn)動(dòng)的周期.

Answer 1

【答案】

【解析】

本系統(tǒng)具有對(duì)稱性，易判定其運(yùn)動(dòng)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，且只需討論物體在、兩段的運(yùn)動(dòng)即可.

先確定物體在段的運(yùn)動(dòng)時(shí)間.

物體由沿直線下落，這實(shí)際上是退化了的橢圓的一部分，我們可作一個(gè)近似于直線的橢圓，如圖乙所示，物體與球心的連線在這段時(shí)間內(nèi)掃過(guò)的面積如圖中的陰影部分，物體從橢圓的頂端下落的時(shí)間可用開(kāi)普勒第二定律求得，即

，

其中應(yīng)用開(kāi)普勒第三定律求解，得

，

所以，，

所以，.

再確定物體在段的運(yùn)動(dòng)時(shí)間.

由圖可寫出物體在隧道中的動(dòng)力學(xué)方程：

.

顯然，這是角頻率為的諧振動(dòng).為了求，應(yīng)先確定諧振動(dòng)的振幅，設(shè)物體進(jìn)入軌道時(shí)的初速度為，則

.

物體從到的過(guò)程中，由機(jī)械能守恒可得

.

聯(lián)立上述各式可得

，

所以，.

所以由參考圓（圖）可得，物體從球面到球心所需時(shí)間為

，

其中，

所以，.

最后得小物體運(yùn)動(dòng)的周期為

.

閱讀完本題，如果將本題拆解成若干小題，你能將本題拆解成多少道獨(dú)立的小題呢？

至少，小物體從下落至可作為一道小題吧？小物體在隧道內(nèi)的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題可作為一道小題吧？小物體在隧道內(nèi)的非完整的諧振動(dòng)是一道小題吧？這些小題沒(méi)有一道是輕松簡(jiǎn)單的，而將它們串接起來(lái)，讓你在有限的時(shí)間內(nèi)作出正確的解答，肯定不是一件輕松的事兒.

什么是綜合題？綜合題不能簡(jiǎn)單地說(shuō)是難題，因?yàn)橛行┚C合題可能稱不上是難題，但綜合題一定包含了多個(gè)過(guò)程，或涉及多個(gè)對(duì)象，或涉及眾多的知識(shí)點(diǎn)，或必須用到多個(gè)物理規(guī)律，或需要復(fù)雜的數(shù)學(xué)運(yùn)算，或需要用多個(gè)物理思想方法……而處理綜合題最普遍的方法便是將其拆解為多個(gè)我們平時(shí)所熟悉的小題，能否拆解，一定程度上也決定了我們能否作出正確的解答，同時(shí)也展示了我們能力的高低.