Question

【題目】如圖甲所示，桿放在圓筒內(nèi)，桿的端用鉸鏈固定在筒壁與筒底的交界處，桿的點(diǎn)靠在筒的邊緣上。兩點(diǎn)位于通過圓筒軸的豎直平面內(nèi)，桿與水平線所成的角度為。使桿沿筒的邊緣移動到點(diǎn)，為。試問：摩擦系數(shù)最小為多少，桿在位置能保持平衡？

Answer 1

【答案】

【解析】

方法1 作用在桿上的力有：重力、點(diǎn)處鉸鏈的支持力、點(diǎn)處的圓筒的支持力和摩擦力。桿平衡的條件是這些力的合力為零以及力矩的代數(shù)和為零。對于通過點(diǎn)豎直軸，鉸鏈的支持力力矩和桿重力力矩都為零，則力和的合力一定通過桿的豎直平面。我們分析合力的水平分量，確定和的方向以及它們在水平面的投影值——和，坐標(biāo)軸分別為從點(diǎn)指向圓心、圓的切線方向和豎直向上的方向上（如圖乙所示）.

我們引入三個單位矢量，其方向分別沿桿、力和力。設(shè)與水平線成角。由于桿轉(zhuǎn)動，桿所在豎直平面轉(zhuǎn)動角。在圖丙中，表示筒高，表示圓筒的半徑。在中，；在中，。在中，.

因而.

用單位矢量和來表示.

.

力垂直于桿并且與圓相切于點(diǎn)，由此可知，矢量垂直于矢量和矢量，即

. ①

由此得到角和之間的關(guān)系為.

為了確定矢量的方向，考慮到它也垂直于矢量和矢量，經(jīng)不太復(fù)雜的計算得到

②

由①和②可以得到，；

，

.

正如已指出的那樣，力和力的合力在水平方向投影應(yīng)位于桿的鉛直平面內(nèi)，即

.

摩擦系數(shù)的最小值由關(guān)系式確定，于是.

方法2 支持力應(yīng)垂直于過點(diǎn)且與圓相切的切線和桿.

因?yàn)?/span>垂直于平面，所以垂直于切線。

又垂直于切線，所以支持力必在平面內(nèi)。

如圖丁所示，取的中點(diǎn)，連，則，取的中點(diǎn)，連。

，，

垂直于平面，

平面垂直于.

過作垂直于，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，則為支持力的方向。

因?yàn)闂U的重力在平面內(nèi)，由三力交匯原理知，處的全反力在平面內(nèi)，即與的合力在內(nèi)。

， .

又平面垂直于平面，

在平面中時，滿足.

.

又，，

，

又，

.