Question

若不等式[（1-x）t-x]lgx＜0對任意正整數t恒成立，則實數x的取值范圍是（　�。�

• A、{x|x＞1}
• B、{x|0＜x＜

  1

  2

  }
• C、{x|0＜x＜

  1

  2

  或x＞1}
• D、{x|0＜x＜

  1

  3

  或x＞1}

Answer 1

分析：因為有因式lgx，所以須對x分x＞1，0＜x＜1和x=1三種情況討論，在每一種情況下求出對應的x的范圍，最后綜合即可．

解答：解：由題知x＞0，所以當x＞1時，lgx＞0，
不等式[（1-x）n-x]lgx＜0轉化為（1-x）n-x＜0?a＞

n

n+1

=1-

1

n+1

對任意正整數n恒成立?x＞1．
當0＜x＜1時，lgx＜0，
不等式[（1-x）n-x]lgx＜0轉化為（1-x）n-x＞0?x＜

n

n+1

=1-

1

n+1

對任意正整數n恒成立?x＜

1

2

，
∵0＜x＜1，∴0＜x＜

1

2

．
當x=1時，lgx=0，不等式不成立舍去
綜上，實數x的取值范圍是  x＞1或0＜x＜

1

2

故選C．

點評：本題考查了函數的恒成立問題以及分類討論思想的應用．分類討論目的是，分解問題難度，化整為零，各個擊破．