Question

(本小題滿分12分）

已知函數(shù)的零點(diǎn)的集合為{0，1}，且是f（x）的一個極值點(diǎn)。

（1）求的值；

（2）試討論過點(diǎn)P（m，0）與曲線y＝f（x）相切的直線的條數(shù)。

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）當(dāng)或時，，方程①有兩等根或，此時，過點(diǎn)或與曲線相切的直線有兩條；

當(dāng)時，，方程①無解，此時過點(diǎn)與曲線相切的直線僅有一條；

當(dāng)或時，，方程①有兩個不同的實根，此時過點(diǎn)與曲線相切的直線有三條.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）函數(shù)的零點(diǎn)的集合為，則方程 的解可以為，或.

∴或.

①若，則.

當(dāng)，或時，，函數(shù)為增函數(shù)；當(dāng)，，函數(shù)為減函數(shù)；

∴，為函數(shù)的極值點(diǎn)．與題意不符．

②若，則

當(dāng)，或時，，函數(shù)為增函數(shù)；當(dāng)，，函數(shù)為減函數(shù)；

∴，為函數(shù)的極值點(diǎn)．

綜上，函數(shù)，即，

而，故，∴               …6分

（Ⅱ）設(shè)過點(diǎn)的直線與曲線切于點(diǎn)，

由（Ⅰ）知，∴曲線在點(diǎn)處的切線方程為，

∵滿足此方程，故，又

即，∴.

，或…①，關(guān)于的方程的判別式

當(dāng)或時，，方程①有兩等根或，此時，過點(diǎn)或與曲線相切的直線有兩條；

當(dāng)時，，方程①無解，此時過點(diǎn)與曲線相切的直線僅有一條；

當(dāng)或時，，方程①有兩個不同的實根，此時過點(diǎn)與曲線相切的直線有三條.                                         …12分

考點(diǎn)：函數(shù)的零點(diǎn)；函數(shù)的極值點(diǎn)；導(dǎo)數(shù)的幾何意義；曲線的切線方程。

點(diǎn)評：利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程，我們一定要分清是“在某點(diǎn)處的切線”還是“過某點(diǎn)的切線”。對于“在某點(diǎn)處的切線”的問題，這一點(diǎn)就是切點(diǎn)，直接根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義寫出切線方程即可。對于“過某點(diǎn)的切線”問題，我們一般要把切點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)出來解決。