Question

（2011?四川模擬）如圖所示，位于坐標(biāo)原點(diǎn)O處的一粒子源P，在xoy平面內(nèi)以同一速率v同時(shí)向y軸右側(cè)（含y軸）各個(gè)方向發(fā)射相同的正粒子，粒子質(zhì)量為m、電荷量為q．在由y軸和上、下兩個(gè)與x軸相切于原點(diǎn)O、半徑為b的

1

4

圓弧所圍成的區(qū)域（含邊界）中，分別存在垂直于xoy平面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)Ⅰ、Ⅱ．經(jīng)過(guò)磁場(chǎng)區(qū)域后，粒子均沿x軸正方向運(yùn)動(dòng)，然后全部射人正對(duì)放置的金屬平板之間，兩平板垂直于y方向且關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，板間距離為d，在金屬板右側(cè)放置垂直于x軸且足夠大的接收屏MN．若兩板間加上大小為U的恒定電壓，只在板間形成沿y軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，不計(jì)粒子重力及粒子間的相互作用．那么
（1）磁場(chǎng)Ⅰ、Ⅱ的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小是多少？方向如何？
（2）若全部粒子均能打在接收屏上，金屬板的最大長(zhǎng)度是多少？此時(shí)粒子在接收屏上的分布范圍是多大？
（3）對(duì)由粒子源同一時(shí)刻發(fā)出的粒子而言，若沿x軸運(yùn)動(dòng)的粒子恰能從板間出射，且在其出射瞬間撤去電場(chǎng)，那么，打在接收屏上的粒子在進(jìn)出金屬板間的過(guò)程中，y方向動(dòng)量變化的最小值是多少？

Answer 1

分析：（1）、由題意可分析，沿y軸正方向和負(fù)方向射出的粒子，由偏轉(zhuǎn)方向可判斷出兩個(gè)區(qū)域的磁場(chǎng)方向，經(jīng)偏轉(zhuǎn)后均沿x軸的正方向運(yùn)動(dòng)，可得出其運(yùn)動(dòng)半徑都是d，由洛倫茲力提供向心力列式求解可得出兩個(gè)磁場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)．
（2）、首先根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式，在豎直方向上可求出帶電粒子的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，在水平方向上，粒子一直做勻速直線運(yùn)動(dòng)，便可求出粒子在該時(shí)間內(nèi)的水平位移，即為金屬板的最大長(zhǎng)度．
（3）、由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式表示出沿x軸入射的粒子從板間射出的時(shí)間t₂與豎直方向的位移的關(guān)系，再分析所有粒子到達(dá)金屬邊間的最大時(shí)間差△t，便可得到動(dòng)量變化△p的表達(dá)式，根據(jù)t₂-△t取值，可分析粒子沿y方向動(dòng)量變化的最小值．

解答：解：
（1）、磁場(chǎng)Ⅰ的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B₁，方向垂直紙面向外，由題意可知，粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑是b，則有：
qvB1=m

v2

b

得：B1=

mv

qb

磁場(chǎng)Ⅱ的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B₂，方向垂直紙面向內(nèi)，由題意可知有：
B2=B1=

mv

qb

（2）、由y=-b處入射的粒子恰能從金屬板間射出，所用的時(shí)間為t₁，由牛頓第二定律可得粒子在y軸方向的加速度為：
a=

qU

md

由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式有：

d

2

-b=

1

2

a 

t

2 1

金屬板的最大長(zhǎng)度為：
L_max=vt₁
由以上各式可得：
Lmax= v  

(d-2b)dm qU

所有粒子經(jīng)電場(chǎng)都沿y的負(fù)方向偏移同樣大小的量值，所以粒子在MN屏上的y方向分布范圍為：
△y_MN=2b
（3）、沿x軸入射的粒子恰能從板間射出，所用的時(shí)間為t₂，則由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式有：

d

2

=

1

2

a

t

2 2

由y=b處入射的粒子與y=0處入射的粒子剛到達(dá)金屬板間的時(shí)間差最大，為：
△t=(

π

2

-1)

b

v

y=b處入射的粒子在y方向的動(dòng)量變化最小，其值為△p，由動(dòng)量定理得：
△p=

qU

d

(t2-△t)
當(dāng)t₂-△t＞0時(shí)
△p=

mqU

-(

π

2

-1)

qUb

vd

當(dāng)t₂-△t≤0時(shí)，粒子不經(jīng)電場(chǎng)加速
△p=0
答：（1）磁場(chǎng)Ⅰ、Ⅱ的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小都為

mv

qb

．方向分別為垂直紙面向外和向里．
（2）若全部粒子均能打在接收屏上，金屬板的最大長(zhǎng)度是v 

(d-2b)dm qU

，此時(shí)粒子在接收屏上的分布范圍是2d．
（3）y方向動(dòng)量變化的最小值是0．

點(diǎn)評(píng)：此題考察到了兩方面的問(wèn)題，一是在磁場(chǎng)中的偏轉(zhuǎn)，一是在電場(chǎng)中的偏轉(zhuǎn)．
對(duì)于帶點(diǎn)粒子在磁場(chǎng)中的偏轉(zhuǎn)，往往聯(lián)系臨界和多解問(wèn)題，當(dāng)粒子速度大小不變，速度方向變化；此時(shí)由于速度大小不變，則所有粒子運(yùn)動(dòng)的軌道半徑相同，但不同粒子的圓心位置不同，其共同規(guī)律是：所有粒子的圓心都在以入射點(diǎn)為圓心，以軌道半徑為半徑的圓上，從而找出動(dòng)圓的圓心軌跡，再確定運(yùn)動(dòng)軌跡的臨界點(diǎn)．
粒子在電場(chǎng)中的偏轉(zhuǎn)，把運(yùn)動(dòng)沿電場(chǎng)的方向和垂直于電場(chǎng)的方向進(jìn)行分解，一是做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，一是做勻速直線運(yùn)動(dòng)，分別運(yùn)用運(yùn)動(dòng)學(xué)公式進(jìn)行列式求解即可．