Question

如圖，水平地面上方被豎直線MN分隔成兩部分，M點左側地面粗糙，與B球間的動摩擦因數為μ=0.5，右側光滑．MN右側空間有一范圍足夠大的勻強電場，在O點用長為R=5m的輕質絕緣細繩，拴一個質量m_A=0.04kg，帶電量為q=+2×10^-4C的小球A，在豎直平面內以v=10m/s的速度做順時針勻速圓周運動，小球A運動到最低點時與地面剛好不接觸．處于原長的彈簧左端連在墻上，右端與不帶電的小球B接觸但不粘連，B球的質量m_B=0.02kg，此時B球剛好位于M點．現用水平向左的推力將B球緩慢推至P點（彈簧仍在彈性限度內），MP之間的距離為L=10cm，推力所做的功是W=0.27J，當撤去推力后，B球沿地面向右滑動恰好能和A球在最低點處發(fā)生正碰，并瞬間成為一個整體C（A、B、C均可視為質點），速度大小變?yōu)?m/s，方向向左；碰撞前后電荷量保持不變，碰后瞬間立即把勻強電場的場強大小變?yōu)镋=6×10³N/C，電場方向不變，求：
（1）在A、B兩球碰撞前勻強電場的大小和方向；
（2）彈簧具有的最大彈性勢能；
（3）整體C運動到最高點時繩的拉力大�。�（取g=10m/s²）

Answer 1

（1）要使小球在豎直平面內做勻速圓周運動，必須滿足：
F_電=Eq=m_Ag
所以：E=

mAg

q

=2×10³N/C
方向豎直向上
（2）由功能關系得，彈簧具有的最大彈性勢能為：E_p=W-μm_Bgl=0.26J
（3）設小球B運動到M點時速度為v_B，由功能關系得：
E_P-μm_BgL=

1

2

m_B

v

2B

解得：v_B=5m/s
兩球碰后結合為C，設C的速度為v₁，由動量守恒定律得：
m_Av-m_Bv_B=m_Cv₁
解得：v₁=5m/s
電場變化后，因E'q-m_Cg=0.6N
m_c

v 21

R

=0.3N
m_c

v 21

R

＜（E′q-m_cg）


所以C不做圓周運動，而做類似平拋運動，設經過時間t繩子在Q出繃緊，由運動學規(guī)律得到：
x=v₁t         y=

1

2

at2
a=

Eq-mcg

mc

       x²+（R-y）²=R²
可得：t=1s           
v_y=at=10m/s           
x=y=r=5m
即：繩子繃緊時恰好位于水平位置，水平方向速度變?yōu)榱�，以豎直分速度v_y開始做圓周運動；
設到最高點時速度為v₂，由動能定理得：

1

2

mc

v

22

-

1

2

mc

v

21

=EqR-mcgR
解得v₂=10

2

m/s
最高點，由牛頓運動定律得：T+mcg=qE=mc

v 22

R

解得：T=3N
答：（1）在A、B兩球碰撞前勻強電場的大小為2×10³N/C，方向豎直向上；
（2）彈簧具有的最大彈性勢能為0.26J；
（3）整體C運動到最高點時繩的拉力大小為3N．