Question

【題目】如圖，直線y＝﹣x+3與x軸、y軸分別交于B、C兩點(diǎn)，經(jīng)過B、C兩點(diǎn)的拋物線y＝x2+bx+c與x軸的另一個交點(diǎn)為A，頂點(diǎn)為P．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）當(dāng)0＜x＜3時，在拋物線上求一點(diǎn)E，使△CBE的面積有最大值；

（3）在該拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)M，使以C、P、M為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形？若存在，請寫出所符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣4x+3；（2）E（，﹣）；（3）（2，7）或（2，﹣1+2 ＝）或（2，﹣1﹣2）或（2，）

【解析】

（1）用直線表達(dá)式求出點(diǎn)B、C的坐標(biāo)，將點(diǎn)B、C的坐標(biāo)代入y＝x2+bx+c，即可求解；

（2）S△CBE＝HE×OB＝×3×（﹣x+3﹣x2+4x﹣3）＝（﹣x2+3x），即可求解；

（3）分CM＝CP、CP＝PM、CM＝PM三種情況，分別求解即可．

解：（1）y＝﹣x+3，令y＝0，則x＝3，令x＝0，則y＝3，

故點(diǎn)B、C的坐標(biāo)為（3，0）、（0，3），

將點(diǎn)B、C的坐標(biāo)代入y＝x2+bx+c并解得：b＝﹣4，

故拋物線的表達(dá)式為：y＝x2﹣4x+3，

令y＝0，則x＝1或3，故點(diǎn)A（1，0），點(diǎn)P（2，﹣1）；

（2）過點(diǎn)E作EH∥y軸交BC于點(diǎn)H，

設(shè)點(diǎn)E（x，x2﹣4x+3），則點(diǎn)H（x，﹣x+3）

S△CBE＝HE×OB＝×3×（﹣x+3﹣x2+4x﹣3）＝（﹣x2+3x），

∵﹣＜0，當(dāng)x＝時，S△CBE有最大值，

點(diǎn)E（，﹣）；

（3）點(diǎn)C（0，3）、點(diǎn)P（2，﹣1），設(shè)點(diǎn)M（2，m），

CP2＝4+16＝20，CM2＝4+（m﹣3）2＝m2﹣6m+13，PM2＝m2+2m+1，

①當(dāng)CM＝CP時，20＝m2﹣6m+13，解得：m＝7或﹣1（舍去m＝﹣1）；

②當(dāng)CP＝PM時，同理可得：m＝﹣1±2；

③當(dāng)CM＝PM時，同理可得：m＝；

故點(diǎn)M坐標(biāo)為：（2，7）或（2，﹣1+2 ＝）或（2，﹣1﹣2）或（2，）．